微分の定義

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微分の定義

\begin{align} \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x} & \,\colon = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x} \end{align}

\( f(x) = x^2 \) の微分を定義に当てはめて計算する.

\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^2 \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{x^2+2x\Delta x+{\Delta x}^2-x^2}{\Delta x}} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{2x\Delta x+{\Delta x}^2}{\Delta x}} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}(2x + \Delta x) \\ &= 2x \end{align}

微分関連式

物理では時間微分をドットを用いて表現することが多い.いま思い返せばたしかに便利な記号であるが,学生時代はこれが何を意味するか正確に理解していなかったのだと思う.

\begin{align} \frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(t) \,\colon = f'(t) \\ \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}(t)}{\mathrm{d}t} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{r}(t) \, \colon = \dot{\mathbf{r}}(t) \\ \frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}(t)}{\mathrm{d}t^2} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}(t)}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\dot{\mathbf{r}}(t) \, \colon = \ddot{\mathbf{r}}(t) \end{align}

運動方程式

\begin{align} m\ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F} \end{align}

微分演算子の線形性

\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f(x)+g(x)) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(x) \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\lambda f(x)) &= \lambda\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x) \end{align}

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