テンソルの学習その3

\( \mathcal{V} \times \mathcal{V} \) における任意の \( (\mathbf{a},\mathbf{b}) \) に対して， \( \mathbf{O}_{\cdot\cdot}(\mathbf{a},\mathbf{b}) \,\colon = 0 \) と定義する．これは二階の共変(唯一の)ゼロテンソルである．

\( \mathbf{T}_{\cdot\cdot}(\mathbf{a},\mathbf{b}) = \mathbf{T}_{\cdot\cdot}(\alpha^{i}\mathbf{e}_{i},\beta^{j}\mathbf{e}_{j}) \, \colon = \alpha^{1}\beta^{1}. \)

\( \eqref{eq:2.3} \) のルールと加算，スカラー乗法および二階の共変ゼロテンソルの定義のもとで， すべての共変テンソルの集合 \( \mathcal{V}^{*} \otimes \mathcal{V}^{*} \) ( \( \otimes \) の定義がされてないのに )はベクトル空間をなす．

[証明]

証明は読者の課題とする．

[証明終わり]

共変ベクトルのテンソル積は次の式を満たす．体 \( \mathcal{F} \) 上の \( \lambda \) とベクトル空間 \( \mathcal{V}^{*} \) 上の任意の \( \tilde{\mathbf{u}},\tilde{\mathbf{v}},\tilde{\mathbf{w}} \) に対して，

\begin{align} \tilde{\mathbf{u}} \otimes (\tilde{\mathbf{v}} + \tilde{\mathbf{w}}) &= [\tilde{\mathbf{u}} \otimes \tilde{\mathbf{v}}]+[\tilde{\mathbf{u}} \otimes \tilde{\mathbf{w}}], \tag{2.5} \label{eq:2.5} \\ (\tilde{\mathbf{u}}+\tilde{\mathbf{v}})\otimes\tilde{\mathbf{w}} &= [\tilde{\mathbf{u}} \otimes \tilde{\mathbf{w}}]+[\tilde{\mathbf{u}} \otimes \tilde{\mathbf{w}}], \tag{2.6} \label{eq:2.6} \\ \lambda(\tilde{\mathbf{u}} \otimes \tilde{\mathbf{v}}) &= (\lambda\tilde{\mathbf{u}}) \otimes \tilde{\mathbf{v}} = \tilde{\mathbf{u}} \otimes (\lambda\tilde{\mathbf{v}}), \tag{2.7} \label{eq:2.7} \\ \tilde{\mathbf{u}} \otimes \tilde{\mathbf{o}} &= \tilde{\mathbf{o}} \otimes \tilde{\mathbf{u}} = \mathbf{O}_{\cdot\cdot}, \tag{2.8} \label{eq:2.8} \end{align}

[\( \eqref{eq:2.5} \) の証明]

\( \eqref{eq:2.5} \) の両側の双一次関数の定義域は同一で \( \mathcal{V} \times \mathcal{V} \) とする．したがって，ベクトル空間 \( \mathcal{V} \) 上の任意のベクトル \( \mathbf{a},\mathbf{b} \) に対して，(2.4)と(1.15)によって以下の式を得る．

\begin{align} [\tilde{\mathbf{u}} \otimes (\tilde{\mathbf{v}}+\tilde{\mathbf{w}})](\mathbf{a},\mathbf{b}) &= [\tilde{\mathbf{u}}(\mathbf{a})][(\tilde{\mathbf{v}}+\tilde{\mathbf{w}})(\mathbf{b})] \\ &= [\tilde{\mathbf{u}}(\mathbf{a})][\tilde{\mathbf{v}}(\mathbf{b})+\tilde{\mathbf{w}}(\mathbf{b})] \\ &= [\tilde{\mathbf{u}}(\mathbf{a})][\tilde{\mathbf{v}}(\mathbf{b})]+[\tilde{\mathbf{u}}(\mathbf{a})][\tilde{\mathbf{w}}(\mathbf{b})] \\ &= [(\tilde{\mathbf{u}} \otimes \tilde{\mathbf{v}})(\mathbf{a},\mathbf{b})]+[(\tilde{\mathbf{u}} \otimes \tilde{\mathbf{w}})(\mathbf{a},\mathbf{b})] \\ &= [(\tilde{\mathbf{u}} \otimes \tilde{\mathbf{v}})+(\tilde{\mathbf{u}} \otimes \tilde{\mathbf{w}})](\mathbf{a},\mathbf{b}). \end{align}

これで \( \eqref{eq:2.5} \) が証明できた．他の式も同様に証明できる．

[証明終わり]

ふたつの共変ベクトル \( \tilde{\mathbf{u}} \) と \( \tilde{\mathbf{v}} \) を次のように定義する．

\begin{align} \tilde{\mathbf{u}}(\mathbf{a}) = \tilde{\mathbf{u}}(\alpha^{i}\mathbf{e}_{i}) \, \colon = \alpha^{1}, \tilde{\mathbf{v}}(\mathbf{b}) = \tilde{\mathbf{v}}(\beta^{j}\mathbf{e}_{j}) \ \colon = \beta^{N}. \end{align}

式(2.4)によって，

\begin{align} [\tilde{\mathbf{u}} \otimes \tilde{\mathbf{v}}](\mathbf{a},\mathbf{b}) &= [\tilde{\mathbf{u}}(\mathbf{a})][\tilde{\mathbf{v}}(\mathbf{b})] = \alpha^{1}\beta^{N}, \\ [\tilde{\mathbf{u}} \otimes \tilde{\mathbf{v}}](\mathbf{b},\mathbf{b}) &= \beta^{1}\beta^{N}. \end{align}

共変ベクトルのテンソル積の集合 \( \{ \tilde{\mathbf{e}}^{a} \otimes \tilde{\mathbf{e}}^{b} \} \) (ここで，\(a, b \in \{ 1,\ldots, N \} \) ) は \( \mathcal{V}^{*} \times \mathcal{V}^{*} \) の基底を構成する．

[証明]

線形独立であるかどうかを確かめるため以下のテンソル方程式を考える．

\begin{align} \mu_{ab}[\tilde{\mathbf{e}}^{a} \otimes \tilde{\mathbf{e}}^{b}] = \mathbf{O}_{\cdot\cdot}. \end{align}

式(2.3)，(2.4)と(1.16)によって，任意の \( c,d \) に対して以下の式が成り立つ．

\begin{align} [\mu_{ab}(\tilde{\mathbf{e}}^{a} \otimes \tilde{\mathbf{e}}^{b})](\mathbf{e}_{c},\mathbf{e}_{d}) = \mu_{ab}[\tilde{\mathbf{e}}^{a}(\mathbf{e}_{c})][\tilde{\mathbf{e}}^{b}(\mathbf{e}_{d})] = \mu_{ab}\delta^{a}_{c}\delta^{b}_{d} = \mu_{cd} = 0. \end{align}

これは集合 \( \{ \tilde{\mathbf{e}}^{a} \otimes \tilde{\mathbf{e}}^{b} \} \) が線形独立であることを示している．

つづいて展開プロパティを証明するために，以下のような任意のテンソル \( \mathbf{T}_{\cdot\cdot} \) を考える．

\begin{align} \tau_{cd} \,\colon = \mathbf{T}_{\cdot\cdot}(\mathbf{e}_{c},\mathbf{e}_{d}). \tag{2.9} \label{eq:2.9} \end{align}

式(2.1),(2.2),(2.9)により

\begin{align} \mathbf{T}_{\cdot\cdot}(\mathbf{a},\mathbf{b}) &= \mathbf{T}_{\cdot\cdot}(\alpha^{c}\mathbf{e}_{c},\beta^{d}\mathbf{e}_{d}) = \alpha^{c}\beta^{d}\mathbf{T}_{\cdot\cdot}(\mathbf{e}_{c},\mathbf{e}_{d}) \\ &= \tau_{cd}\alpha^{c}\beta^{d}. \tag{2.10} \label{eq:2.10} \end{align}

ここで二階の共変テンソル \( \tau_{cd}(\tilde{\mathbf{e}}^{c} \otimes \tilde{\mathbf{e}}^{d}) \) を考える．式(2.3)と(2.4)により，

\begin{align} [\tau_{cd}(\tilde{\mathbf{e}}^{c} \otimes \tilde{\mathbf{e}}^{d})](\mathbf{a},\mathbf{b}) &= \tau_{cd}[\tilde{\mathbf{e}}^{c}(\mathbf{a})][\tilde{\mathbf{e}}^{d}(\mathbf{b})] \\ &= \tau_{cd}\alpha^{c}\beta^{d}. \tag{2.11} \label{eq:2.11} \end{align}

式(2.10)から(2.11)を引くと，\( \mathcal{V} \times \mathcal{V} \) のすべての順序対 \( (\mathbf{a},\mathbf{b}) \) に対して以下の式を得る．

\begin{align} [\mathbf{T}_{\cdot\cdot} – \tau_{cd}(\tilde{\mathbf{e}}^{c} \otimes \tilde{\mathbf{e}}^{d})](\mathbf{a},\mathbf{b})=0=\mathbf{O}_{\cdot\cdot}(\mathbf{a},\mathbf{b}). \end{align}

ゼロテンソル \( \mathbf{O}_{\cdot\cdot} \) の一意性によって以下の式が成り立つ．

\begin{align} \mathbf{T}_{\cdot\cdot} = \tau_{cd}(\tilde{\mathbf{e}}^{c} \otimes \tilde{\mathbf{e}}^{d}). \end{align}

これは展開プロパティが成り立つことを示している．よって，集合 \( \{ \tilde{\mathbf{e}}^{a} \otimes \tilde{\mathbf{e}}^{b} \} \) は基底である．

[証明終わり]

\( \text{dim} \, (\mathcal{V}^{*} \otimes \mathcal{V}^{*}) = \text{dim} \, N^2. \tag{2.12} \label{eq:2.12} \)

[証明]

証明は明らかなので省略する．

集合 \( \{ \mathbf{e}_{1},\ldots,\mathbf{e}_{N} \} \) と \( \{ \mathbf{f}_{1},\ldots,\mathbf{f}_{N} \} \) を二つの基底とする．するとこれらは次の変換方程式を満たす．\( \mathbf{f}_{a} = \lambda^{b}_{a}\mathbf{e}_{b}, \ \mathbf{e}_{a} = \mu^{b}_{a}\mathbf{f}_{b}. \)

次に，二階の共変テンソル \( \mathbf{T}_{\cdot\cdot} \) の成分 \( \tau_{cd} \) は，次のように変換される．

\begin{align} \sigma_{ab} &= \lambda^{c}_{a}\lambda^{d}_{b}\tau_{cd}, \\ \tau_{ab} &= \mu^{c}_{a}\mu^{d}_{b}\sigma_{cd} \tag{2.13} \label{eq:2.13} \end{align}

[証明]

式(1.20)を再度記載すると，

\begin{align} \tilde{\mathbf{f}}^{a} = \mu^{a}_{b} \tilde{\mathbf{e}}^{b}, \ \tilde{\mathbf{e}}^{a} = \lambda^{a}_{b}\tilde{\mathbf{f}}^{b}. \end{align}

二階のテンソル \( \mathbf{T}_{\cdot\cdot} \) は次のように表現される．

\begin{align} \mathbf{T}_{\cdot\cdot} = \tau_{cd}\tilde{\mathbf{e}}^{c} \otimes \tilde{\mathbf{e}}^{d} = \sigma_{cd}\tilde{\mathbf{f}}^{c} \otimes \tilde{\mathbf{f}}^{d} \end{align}

式 (1.20) と (2.3) によって，次の式を得る．

\begin{align} \tau_{cd}\tilde{\mathbf{e}}^{c} \otimes \tilde{\mathbf{e}}^{d} &= \sigma_{ab}[(\mu^{a}_{c}\tilde{\mathbf{e}}^{c}) \otimes (\mu^{b}_{d}\tilde{\mathbf{e}}^{d})] \\ &= [\mu^{a}_{c}\mu^{b}_{d}\sigma_{ab}][\tilde{\mathbf{e}}^{c} \otimes \tilde{\mathbf{e}}^{d}] \end{align}

\( \mathbf{T}_{\cdot\cdot} \) の成分の一意性によって以下の式を得る．

\begin{align} \tau_{cd} &= \mu^{a}_{c}\mu^{b}_{d}\sigma_{ab} \end{align}

式 (2.13) のもう一方の式も同様に証明される．

[証明終わり]

\( \mathcal{V} \) を体 \( \mathcal{F} \) の二次元ベクトル空間とする．二つの基底を選定しそれらは以下のように変換されるものとする．

\begin{align} \mathbf{f}_{1} = \mathbf{e}_{2}, \ \mathbf{f}_{2} = -\mathbf{e}_{1}. \end{align}

\( \mathbf{f}_{1} = \lambda^{1}_{1}\mathbf{e}_{1}+\lambda^{2}_{1}\mathbf{e}_{2}, \ \mathbf{f}_{2} = \lambda^{1}_{2}\mathbf{e}_{1}+\lambda^{2}_{2}\mathbf{e}_{2} \) なので，

\begin{align} \lambda^{1}_{1} = 0, \ \lambda^{2}_{1} = 1, \ \lambda^{1}_{2} = -1, \ \lambda^{2}_{2} = 0. \end{align}

よって，\( \mathbf{T}_{\cdot\cdot} \) の成分は次のように変換される．

\begin{align} \sigma_{11} &= \lambda^{c}_{1}\lambda^{d}_{1} \tau_{cd} \\ &= \lambda^{1}_{1} \lambda^{d}_{1} \tau_{1d} + \lambda^{2}_{1} \lambda^{d}_{1} \tau_{2d} \\ &= \lambda^{1}_{1} \lambda^{1}_{1} \tau_{11} + \lambda^{1}_{1} \lambda^{2}_{1} \tau_{12} + \lambda^{2}_{1} \lambda^{1}_{1} \tau_{21} + \lambda^{2}_{1} \lambda^{2}_{1} \tau_{22} \\ &= \tau_{22}, \\ \sigma_{12} &= \lambda^{1}_{1} \lambda^{1}_{2} \tau_{11} + \lambda^{1}_{1} \lambda^{2}_{2} \tau_{12} + \lambda^{2}_{1} \lambda^{1}_{2} \tau_{21} + \lambda^{2}_{1} \lambda^{2}_{2} \tau_{22} \\ &= -\tau_{21}, \\ \sigma_{21} &= \lambda^{1}_{2} \lambda^{1}_{1} \tau_{11} + \lambda^{1}_{2} \lambda^{2}_{1} \tau_{12} + \lambda^{2}_{2} \lambda^{1}_{1} \tau_{21} + \lambda^{2}_{2} \lambda^{2}_{1} \tau_{22} \\ &= -\tau_{12}, \\ \sigma_{22} &= \lambda^{1}_{2} \lambda^{1}_{2} \tau_{11} + \lambda^{1}_{2} \lambda^{2}_{2} \tau_{12} + \lambda^{2}_{2} \lambda^{1}_{2} \tau_{21} + \lambda^{2}_{2} \lambda^{2}_{2} \tau_{22} \\ &= \tau_{11}, \\ \text{det} [\sigma_{ab}] &= \sigma_{11}\sigma_{22} – \sigma_{12}\sigma_{21} \\ &= \tau_{22}\tau_{11} – (-\tau_{21})(-\tau_{12}) \\ &= \tau_{11}\tau_{22} – \tau_{12}\tau_{21} \\ &= \text{det} [\tau_{ab}] . \end{align}

次の二階の共変テンソルは対称テンソルである．

\begin{align} \mathbf{S}_{\cdot\cdot} \, \colon = \frac{1}{2}[(\tilde{\mathbf{u}} \otimes \tilde{\mathbf{v}})+(\tilde{\mathbf{v}} \otimes \tilde{\mathbf{u}})] . \tag{2.17} \label{eq:2.17} \end{align}

[証明]

\begin{align} \mathbf{S}_{\cdot\cdot}(\mathbf{a},\mathbf{b}) &= \frac{1}{2}[(\tilde{\mathbf{u}} \otimes \tilde{\mathbf{v}})+(\tilde{\mathbf{v}} \otimes \tilde{\mathbf{u}})](\mathbf{a},\mathbf{b}) \\ &= \frac{1}{2}[(\tilde{\mathbf{u}} \otimes \tilde{\mathbf{v}})(\mathbf{a},\mathbf{b})+(\tilde{\mathbf{v}} \otimes \tilde{\mathbf{u}})(\mathbf{a},\mathbf{b})] \\ &= \frac{1}{2}\{[\tilde{\mathbf{u}}(\mathbf{a})][\tilde{\mathbf{v}}(\mathbf{b})]+[\tilde{\mathbf{v}}(\mathbf{a})][\tilde{\mathbf{u}}(\mathbf{b})]\} \\ &= \frac{1}{2}\{[\tilde{\mathbf{v}}(\mathbf{b})][\tilde{\mathbf{u}}(\mathbf{a})]+[\tilde{\mathbf{u}}(\mathbf{b})][\tilde{\mathbf{v}}(\mathbf{a})]\} \\ &= \frac{1}{2}\{[\tilde{\mathbf{v}} \otimes \tilde{\mathbf{u}}](\mathbf{b},\mathbf{a})]+[\tilde{\mathbf{u}} \otimes \tilde{\mathbf{v}}](\mathbf{b},\mathbf{a})]\} \\ &= \frac{1}{2}[(\tilde{\mathbf{v}} \otimes \tilde{\mathbf{u}})+(\tilde{\mathbf{u}} \otimes \tilde{\mathbf{v}})](\mathbf{b},\mathbf{a}) \\ &= \mathbf{S}_{\cdot\cdot}(\mathbf{b},\mathbf{a}) \\ &= {\mathbf{S}_{\cdot\cdot}}^{T}(\mathbf{a},\mathbf{b}), \\ \therefore \ {\mathbf{S}_{\cdot\cdot}}^{T} &= \mathbf{S}_{\cdot\cdot}. \end{align}

[証明終わり]

次の二階の共変テンソルは反対称テンソルである．

\begin{align} \mathbf{A}_{\cdot\cdot} \, \colon = \frac{1}{2}[(\tilde{\mathbf{u}} \otimes \tilde{\mathbf{v}})-(\tilde{\mathbf{v}} \otimes \tilde{\mathbf{u}})] . \tag{2.20} \label{eq:2.20} \end{align}

[証明]

\begin{align} \mathbf{A}_{\cdot\cdot}(\mathbf{a},\mathbf{b}) &= \frac{1}{2}[(\tilde{\mathbf{u}} \otimes \tilde{\mathbf{v}})-(\tilde{\mathbf{v}} \otimes \tilde{\mathbf{u}})](\mathbf{a},\mathbf{b}) \\ &= \frac{1}{2}[(\tilde{\mathbf{u}} \otimes \tilde{\mathbf{v}})(\mathbf{a},\mathbf{b})-(\tilde{\mathbf{v}} \otimes \tilde{\mathbf{u}})(\mathbf{a},\mathbf{b})] \\ &= \frac{1}{2}\{[\tilde{\mathbf{u}}(\mathbf{a})][\tilde{\mathbf{v}}(\mathbf{b})]-[\tilde{\mathbf{v}}(\mathbf{a})][\tilde{\mathbf{u}}(\mathbf{b})]\} \\ &= \frac{1}{2}\{[\tilde{\mathbf{v}}(\mathbf{b})][\tilde{\mathbf{u}}(\mathbf{a})]-[\tilde{\mathbf{u}}(\mathbf{b})][\tilde{\mathbf{v}}(\mathbf{a})]\} \\ &= \frac{1}{2}\{[\tilde{\mathbf{v}} \otimes \tilde{\mathbf{u}}](\mathbf{b},\mathbf{a})]-[\tilde{\mathbf{u}} \otimes \tilde{\mathbf{v}}](\mathbf{b},\mathbf{a})]\} \\ &= \frac{1}{2}[(\tilde{\mathbf{v}} \otimes \tilde{\mathbf{u}})-(\tilde{\mathbf{u}} \otimes \tilde{\mathbf{v}})](\mathbf{b},\mathbf{a}) \\ &= -\frac{1}{2}[(\tilde{\mathbf{u}} \otimes \tilde{\mathbf{v}})-(\tilde{\mathbf{v}} \otimes \tilde{\mathbf{u}})](\mathbf{b},\mathbf{a}) \\ &= -\mathbf{A}_{\cdot\cdot}(\mathbf{b},\mathbf{a}) \\ &= -{\mathbf{A}_{\cdot\cdot}}^{T}(\mathbf{a},\mathbf{b}), \\ \therefore \ {\mathbf{A}_{\cdot\cdot}}^{T} &= -\mathbf{A}_{\cdot\cdot}. \end{align}

[証明終わり]

\( \mathcal{V}^{*} \) のすべての \( \tilde{\mathbf{u}},\tilde{\mathbf{v}} \) に対して，\( \mathbf{O}^{\cdot\cdot}(\tilde{\mathbf{u}},\tilde{\mathbf{v}}) \,\colon = 0 \) を定義する．これは(唯一の)二階の反変ゼロテンソルである．

\( \mathbf{T}^{\cdot\cdot}(\tilde{\mathbf{a}},\tilde{\mathbf{b}}) = \mathbf{T}^{\cdot\cdot}(\alpha_{i}\tilde{\mathbf{e}}^{i},\beta_{j}\tilde{\mathbf{e}}^{j}) \,\colon = \alpha_{N}\beta_{1}. \)

すべての \( \tilde{\mathbf{u}} \) とすべての \( \mathbf{b} \) に対して，

\begin{align} \mathbf{O}^{\cdot}_{\ \cdot}(\tilde{\mathbf{u}},\mathbf{b}) \,\colon = 0 \tag{2.26} \label{eq:2.26} \end{align}

すべての \( \mathbf{a} \) とすべての \( \tilde{\mathbf{v}} \) に対して，

\begin{align} \mathbf{O}^{\ \cdot}_{\cdot}(\mathbf{a},\tilde{\mathbf{v}}) \,\colon = 0 \tag{2.27} \label{eq:2.27} \end{align}

を定義する．これは(唯一の)二階の反変ゼロテンソルである．これらは二階の混合ゼロテンソルと呼ばれる．

恒等混合テンソル \( \mathbf{I}^{\cdot}_{\ \cdot} \) と \( \mathbf{I}^{\ \cdot}_{\cdot} \) を次のように定義する．

\begin{align} &\mathbf{I}^{\cdot}_{\ \cdot}(\tilde{\mathbf{e}}^{a},\mathbf{e}_{b}) \,\colon = \delta^{a}_{b}, \tag{2.28} \label{eq:2.28} \\ &\mathbf{I}^{\ \cdot}_{\cdot}(\mathbf{e}_{a},\tilde{\mathbf{e}}^{b}) \,\colon = \delta^{b}_{a}. \tag{2.29} \label{eq:2.29} \end{align}

これによって次の式を得る．

\begin{align} \mathbf{I}^{\cdot}_{\ \cdot}(\alpha^{a}\tilde{\mathbf{e}}^{a},\beta^{b}\mathbf{e}_{b}) = \alpha_{a}\beta^{b} = \mathbf{I}^{\ \cdot}_{\cdot}(\beta^{a}\mathbf{e}_{a},\alpha_{b}\tilde{\mathbf{e}}^{b}). \end{align}

\( \mathcal{V} \,\colon = \mathbb{R}^{2}, \ \tilde{\mathbf{u}}(\alpha^{1},\alpha^{2}) \,\colon = \alpha^{2} \) および \( \tilde{\mathbf{v}}(\beta^{1},\beta^{2}) \,\colon = \beta^{1} \) と定義する．

\( \mathcal{V} \otimes \mathcal{V}^{*} \) の混合二階テンソル \( (\alpha^{1} , 2) \otimes \tilde{\mathbf{v}} \) のクラスを考える．\( \mathcal{V}^{*} \times \mathcal{V} \) の成分 \( (\tilde{\mathbf{u}},(-2^{-1},\beta^{2})) \) に対する関数 \( (\alpha^{1},2) \otimes \tilde{\mathbf{v}} \) の値を計算してみる．式(2.30) より以下の式を得る．

\begin{align} [(\alpha^{1},2) \otimes \tilde{\mathbf{v}} ](\tilde{\mathbf{u}}(-2^{-1},\beta^{2})) = [\tilde{\mathbf{u}}(\alpha^{1},2)][\tilde{\mathbf{v}}(-2^{-1},\beta^{2}))] \equiv (2)(-2^{-1}) = -1. \end{align}

\( \mathcal{V} \) を \( 4 \) 次元の実ベクトル空間とする．またつぎの行列はひとつの基底変換の表現行列である．

\begin{align} &[\lambda^{a}_{b}] =\begin{bmatrix} \cosh{\beta} & 0 & 0 & -\sinh{\beta} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\sinh{\beta} & 0 & 0 & \cosh{\beta} \end{bmatrix}. \end{align}

\( \mathbf{F}_{\cdot\cdot} = \phi_{ab}\tilde{\mathbf{e}}^{a} \otimes \tilde{\mathbf{e}}^{b} \) を反対称テンソルとする場合，上記の行列で変換された成分 \( \phi^{*}_{ab} \) を求めよ．