微分の定義

微分の定義

\begin{align} \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x} & \,\colon = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x} \end{align}

微分関連式

物理では時間微分をドットを用いて表現することが多い．いま思い返せばたしかに便利な記号であるが，学生時代はこれが何を意味するか正確に理解していなかったのだと思う．

\begin{align} \frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(t) \,\colon = f'(t) \\ \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}(t)}{\mathrm{d}t} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathbf{r}(t) \, \colon = \dot{\mathbf{r}}(t) \\ \frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}(t)}{\mathrm{d}t^2} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}(t)}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\dot{\mathbf{r}}(t) \, \colon = \ddot{\mathbf{r}}(t) \end{align}

運動方程式

\begin{align} m\ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F} \end{align}

微分演算子の線形性

\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f(x)+g(x)) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(x) \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\lambda f(x)) &= \lambda\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x) \end{align}