algebra 単射(one-to-one)，全射(surjection)，全単射(bijection)/双射
単射の定義 \begin{align} x_1 \ne x_2 \implies f(x_1) \ne f(x_2) \end{align} または \begin{align} f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = ...
mathematics
algebra mathematics ネイピア数の定義
ネイピア数\( e \)の定義 ネイピア数の定義はいろいろあるがよく見るのは以下の式である． \begin{align} e := \lim_{n \to +\infty} \left ( 1 + \frac{1}{n} \right ) ...
algebra テンソルの学習その4
一階共変テンソル 一階の共変テンソルの定義 一階の共変テンソルを二階のテンソルをまねて定義してみる． 一階の共変テンソルは，以下の式で示される \( \mathcal{V} \) から \( \mathcal{F} \) への関数 \( \...
mathematics 微分の定義
微分の定義 \begin{align} \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x} & \,\colon = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\D...
algebra テンソルの学習その3
テンソル代数 ベクトルの順序対 \( \mathcal{V} \) を体 \( \mathcal{F} \) のベクトル空間であるとする．ベクトルの順序対 \( (\mathbf{a},\mathbf{b}) \) は集合 \( \math...
mathematics 三角関数の公式を指数関数から導く
オイラーの公式 オイラーの公式は次の式で与えられる． \ 三角関数の公式 加法定理 オイラーの公式より \begin{align} \mathbf{e}^{i(A+B)} &= \cos{(A+B)}+i\sin{(A+B)} \end{a...
algebra テンソルの学習その２
ベクトル空間の線形写像(Linear Mapping) 線形写像 線形写像 \( \mathcal{V} \) と \( \hat{\mathcal{V}} \) を同一の体 \( \mathcal{F} \) で構成するふたつのベクトル空...
algebra テンソルの学習その１
体(Field) 体の公理 集合\(\mathcal{F}\)に対して二つの演算加法(addition)と乗法(multiplication)を定義する．集合\(\mathcal{F}\)とこれらの演算が体を構成するとは以下の \( \eq...