algebra 単射(one-to-one)，全射(surjection)，全単射(bijection)/双射
単射の定義\begin{align} x_1 \ne x_2 \implies f(x_1) \ne f(x_2) \end{align}または \begin{align} f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_...
mathematics
algebra mathematics ネイピア数の定義
ネイピア数\( e \)の定義ネイピア数の定義はいろいろあるがよく見るのは以下の式である．\begin{align} e := \lim_{n \to +\infty} \left ( 1 + \frac{1}{n} \right ) ^{...
algebra テンソルの学習その4
一階共変テンソル一階の共変テンソルの定義一階の共変テンソルを二階のテンソルをまねて定義してみる．一階の共変テンソルは，以下の式で示される \( \mathcal{V} \) から \( \mathcal{F} \) への関数 \( \mat...
mathematics 微分の定義
微分の定義\begin{align} \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x} & \,\colon = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\De...
algebra テンソルの学習その3
テンソル代数ベクトルの順序対\( \mathcal{V} \) を体 \( \mathcal{F} \) のベクトル空間であるとする．ベクトルの順序対 \( (\mathbf{a},\mathbf{b}) \) は集合 \( \mathca...
mathematics 三角関数の公式を指数関数から導く
オイラーの公式オイラーの公式は次の式で与えられる． \三角関数の公式加法定理オイラーの公式より \begin{align} \mathbf{e}^{i(A+B)} &= \cos{(A+B)}+i\sin{(A+B)} \end{align...
algebra テンソルの学習その２
ベクトル空間の線形写像(Linear Mapping)線形写像線形写像\( \mathcal{V} \) と \( \hat{\mathcal{V}} \) を同一の体 \( \mathcal{F} \) で構成するふたつのベクトル空間とす...
algebra テンソルの学習その１
体(Field)体の公理集合\(\mathcal{F}\)に対して二つの演算加法(addition)と乗法(multiplication)を定義する．集合\(\mathcal{F}\)とこれらの演算が体を構成するとは以下の \( \eqre...