テンソルの学習その１

\begin{align} & {}^\forall \alpha,\beta \in \mathcal{F}, \ \alpha+\beta \in \mathcal{F}, \\ & {}^\forall \alpha,\beta \in \mathcal{F}, \ \beta+\alpha=\alpha+\beta, \\ & {}^\forall \alpha,\beta,\gamma \in \mathcal{F}, \ (\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma), \\ &{}^{\exists!} 0 , \ {}^\forall \alpha \in \mathcal{F},\ \alpha+0=\alpha, \\ &{}^\forall \alpha, \ {}^{\exists!}{-\alpha} , \ \alpha -\, \alpha \,\colon= \alpha + ({-\alpha}) = 0, \\ &{}^\forall \alpha, \ \beta \in \mathcal{F}, \ \alpha\beta \in \mathcal{F}, \\ &{}^\forall \alpha,\beta \in \mathcal{F}, \ \alpha\beta = \beta\alpha, \\ &{}^\forall \alpha,\beta,\gamma \in \mathcal{F}, \ (\alpha\beta)\gamma=\alpha(\beta\gamma), \\ &{}^{\exists!} 1 , \ {}^\forall \alpha \in \mathcal{F}, \ \alpha 1=\alpha, \\ &{}^\forall \alpha \neq 0, \ {}^{\exists!}{\alpha^{-1}} , \ \alpha{\alpha^{-1}}=1, \\ &{}^\forall \alpha,\beta,\gamma \in \mathcal{F}, \ \alpha(\beta+\gamma)=(\alpha\beta)+(\alpha\gamma). \tag{1.1} \label{eq:1.1} \end{align}

• 実数の集合 \( \mathbb{R} \) 順序付が可能で完全(completeness)
• 複素数の集合 \( \mathbb{C} \) 順序付けはできないが完全
• 有理数の集合 \( \mathbb{Q} \) 順序付け可能で不完全(incomplete)

\( \mathbb{R}^2 \) を実数の順序対 \((\alpha,\beta)\) のすべての集合とする．また，この集合において加算と乗算を以下のように定義する．

\begin{align} & (\alpha, \beta) + (\gamma,\delta) = (\alpha+\gamma,\beta+\delta) \\ & (\alpha,\beta)(\gamma,\delta) = (\alpha\gamma-\beta\delta,\alpha\delta+\beta\gamma) \end{align}

\( \mathbb{R}^2 \) と上記の演算の組合せは体を構成することを証明せよ．

次の集合が(加算と乗算について)体を構成するかどうか判定せよ．

1. \( \{m+n\sqrt{5}\,|\,m,n \in \mathbb{Z} (\mbox{整数体})\} \)
2. \( \{a+b\sqrt[3]{5}+c\sqrt[3]{25}\,|\,a,b,c \in \mathbb{Q} \} \)
3. \( \{a+bi\,|\,a,b \in \mathbb{Q},\,i\,\mbox{: 虚数単位} \} \)

\begin{align} & {}^\forall \mathbf{a},\mathbf{b} \in \mathcal{V}, \ \mathbf{a}+\mathbf{b} \in \mathcal{V}, \\ &{}^\forall \mathbf{a},\mathbf{b} \in \mathcal{V}, \ \mathbf{b}+\mathbf{a}=\mathbf{a}+\mathbf{b}, \\ &{}^\forall \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} \in \mathcal{V}, \ (\mathbf{a}+\mathbf{b})+\mathbf{c}=\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c}), \\ &{}^{\exists!} \mathbf{0}, \ {}^\forall \mathbf{a} \in \mathcal{V}, \ \ \mathbf{a}+\mathbf{0}=\mathbf{a}, \\ &{}^\forall \mathbf{a}, \ {}^{\exists!}{-\mathbf{a}}, \ \mathbf{a} -\, \mathbf{a} \,\colon= \mathbf{a} + ({-\mathbf{a}}) = \mathbf{0}, \\ &{}^\forall \alpha \in \mathcal{F}, \ {}^\forall \mathbf{a} \in \mathcal{V}, \ \alpha\mathbf{a} \in \mathcal{V}, \\ &{}^\forall \alpha,\beta \in \mathcal{F}, \ {}^\forall \mathbf{a} \in \mathcal{V}, \ \alpha(\beta\mathbf{a}) = (\alpha\beta)\mathbf{a}, \\ &{}^\forall \mathbf{a} \in \mathcal{V}, \ 1 \mathbf{a} = \mathbf{a}, \\ &{}^\forall \alpha \in \mathcal{F}, \ {}^\forall \mathbf{a},\mathbf{b} \in \mathcal{V}, \ \alpha(\mathbf{a}+\mathbf{b})=(\alpha \mathbf{a})+(\beta\mathbf{b}), \\ &{}^\forall \alpha,\beta \in \mathcal{F}, \ {}^\forall \mathbf{a} \in \mathcal{V}, \ (\alpha+\beta)\mathbf{a}=(\alpha \mathbf{a})+(\beta\mathbf{a}). \tag{1.2} \label{eq:1.2} \end{align}

複素数の集合 \( \mathbb{C}\) を考える．次の規則により，複素数をフィールド \(\mathcal{F}=\mathbb{C}\) のベクトルとして解釈できる．

\begin{align} \mathbf{a} & \,\colon= \alpha, \ \alpha \in \mathbb{C}, \\ \mathbf{a}+\mathbf{b} & \,\colon= \alpha+\beta,\\ \mathbf{0} & \,\colon= 0, \\ -\mathbf{a} & \,\colon=-\alpha, \\ \lambda\mathbf{a} & \,\colon= \lambda\alpha. \end{align}

\( C^{0}[(a,b) \subset \mathbb{R};\mathbb{R}]\) を区間 \((a,b) \subset \mathbb{R} \) にわたるすべての連続実数値関数の集合とする．次の規則により，実数体でのベクトル加算とスカラー乗法を定義することができる．

\begin{align} \mathbf{f} & \,\colon= f(x), \ x \in (a,b), \\ \mathbf{f}+\mathbf{g} & \,\colon= f(x)+g(x), \\ \lambda\mathbf{f} & \,\colon= \lambda f(x) ,\\ \mathbf{0} & \,\colon= 0, \\ -\mathbf{f} & \,\colon= -f(x). \end{align}

上記の規則により， \( C^{0}[(a,b) \subset \mathbb{R};\mathbb{R}]\) は実数のベクトル空間である(これは無限次元のベクトル空間の例である)．

\begin{align} & \mathcal{W} \subset \mathcal{V} \mbox{ かつ } \\ & {}^\forall \lambda,\mu \in \mathcal{F}, \ {}^\forall \mathbf{a},\mathbf{b} \in \mathcal{W}, \ \lambda\mathbf{a}+\mu\mathbf{b} \in \mathcal{W}. \tag{1.3} \label{eq:1.3} \end{align}

\( \mathcal{V} = \mathbb{R}^{N} \)とする．\( \mathcal{W} \) を \( \mathbb{R}^{N} \) の部分集合とし，\( \mathbf{w} \,\colon= (0,\alpha_2,\alpha_3,\ldots,\alpha_N) \) の形式のベクトルで構成されるようにする．
部分ベクトル空間の定義により，\( \mathcal{W} \) の2つのベクトル \( \mathbf{a},\mathbf{b} \) に対して，線形結合

\[ λ\mathbf{a}+μ\mathbf{b} = (0,\lambda\alpha_2+\mu\beta_2,\lambda\alpha_3+\mu\beta_3,\ldots,\lambda\alpha_N+\mu\beta_N). \]

を得る．上記のベクトルは明らかに \( \mathcal{W} \) に含まれる．
したがって，\( \mathcal{W} \) は部分ベクトル空間となる．

\( \mathcal{V} = \mathbb{R}^{N} \)とする．\( \mathcal{W}^{\#} \) を \( \mathbb{R}^{N} \) の部分集合とし，次の形式のベクトルで構成されるようにする．

\[ \mathbf{w^{\#}} \,\colon= (\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_N) \ \ \mbox{with} \ \sum_{k=1}^{N}(\alpha_{k})^2 =1. \]

このときゼロベクトル \( \mathbf{0} = (0,0,\ldots,0) \) は \( \mathcal{W}^{\#} \) に属さない．したがって，\( \mathcal{W}^{\#} \) は部分ベクトル空間ではない．

次の式であらわされるベクトルのことを ベクトル \( \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_{N} \)の線形和または一次結合という．

\begin{align} \mathbf{v} \,\colon= \sum_{k=1}^{N}\alpha^{k}\mathbf{v}_{k}, \quad \alpha_{i} \in \mathcal{F} (1 \leq i \leq N) \end{align}

以下の形式のベクトルで構成されるような \( \mathcal{V} \) の部分集合\( \mathcal{W} \) は，ベクトル \( \mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_k \) によって生成(または展開)されるという．\[ \mathbf{w} \,\colon= \sum_{j=1}^{k}\alpha^{j}\mathbf{w}_{j} \] このような部分集合は，部分ベクトル空間であることが証明できる．

[証明]

\( \mathbf{a} \,\colon= \displaystyle\sum_{j=1}^{k}\alpha^{j}\mathbf{w}_{j}, \ \mathbf{b} \,\colon= \sum_{j=1}^{k}\beta^{j}\mathbf{w}_{j} , \ \lambda,\mu \in \mathcal{F} \)とおくと \begin{align} \lambda\mathbf{a}+\mu\mathbf{b} &= \lambda\sum_{j=1}^{k}\alpha^{j}\mathbf{w}_{j}+\mu\sum_{j=1}^{k}\beta^{j}\mathbf{w}_{j} \\ &=\sum_{j=1}^{k}\lambda\alpha^{j}\mathbf{w}_{j}+\sum_{j=1}^{k}\mu\beta^{j}\mathbf{w}_{j} \\ &=\sum_{j=1}^{k}(\lambda\alpha^{j}+\mu\beta^{j})\mathbf{w}_{j} \in \mathcal{W}.\end{align} また\( \ \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_k=0 \ \mbox{とおくと} \ \mathbf{a} = \mathbf{0} \in \mathcal{W}. \)

よって，\( \mathcal{W} \) は部分ベクトル空間である．[証明終わり]

\( k \) 個のゼロでないベクトル \( \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k \) と以下のベクトル方程式を考える．

\begin{align} \sum_{j=1}^{k}\mu^{j}\mathbf{v}_{j} = \mathbf{0}. \tag{1.4} \label{eq:1.4} \end{align}

上記のベクトル方程式が \( \mu^1 = \mu^2 = \cdots = \mu^{k} = 0 \) の場合だけ成り立つとき，ベクトル \( \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k \) は線形独立または一次独立，その他の場合を線形従属という．

次の \( N \) 個のベクトルによって与えられる \( \mathcal{V} = \mathbb{R}^{N} \) を考える．\begin{align} \mathbf{e}_1 \,\colon= (1,0,\ldots,0), \mathbf{e}_2 \,\colon= (0,1,\ldots,0),\ldots,\mathbf{e}_{N} \,\colon= (0,0,\ldots,1). \tag{1.5} \label{eq:1.5} \end{align} ベクトル方程式 \( \displaystyle\sum_{j=1}^{N}\mu^{j}\mathbf{e}_j = \mathbf{0} \) より，\( (\mu^1,\mu^2,\ldots,\mu^{N})=(0,0,\ldots,0) \) を得る．したがって，\( \mu^1=\mu^2=\cdots=\mu^{N}=0. \)

よって，これらのベクトルは一次独立である．

次の \( N \) 個のベクトルによって与えられる \( \mathbb{R}^{N} \) を考える．

\[ \mathbf{e}_1 \,\colon= (1,0,\ldots,0),\mathbf{e}_2 \,\colon= (0,1,\ldots,0),\ldots,\mathbf{e}_{N} \,\colon= (0,0,\ldots,1). \]

集合 \( \{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_N \} \) は \( \mathbb{R}^N \) の基底である．

また，これらのベクトルの集合を標準基底(standard basis)と呼ぶ．

あるベクトル空間 \( \mathcal{V} \) の基底を構成する集合のベクトルの数を そのベクトル空間\( \mathcal{V} \) の次元といい次の記号であらわす．

\[ \mathrm{dim} (\mathcal{V}). \]

集合 \( \{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_N \} \) で構成されるベクトル空間 \( \mathbb{R}^N \) の次元は

\[ \mathrm{dim} ( \mathbb{R}^{N} ) = N. \]

基底 \( \{ \mathbf{e}_1 , \mathbf{e}_{2} , \ldots, \mathbf{e}_{N} \} \) に対する，ベクトル \( \mathbf{a} \) の成分を \( \alpha_1, \alpha_2, \ldots , \alpha_{N} \) とする．このとき，\( N \)-タプル \( (\alpha_1, \alpha_2, \ldots , \alpha_{N} ) \) は一意である．

[証明]

ベクトル\( \mathbf{a} \) をあらわす別の成分 \( \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_{N} \) が存在すると仮定する．すると次の式が成り立つ．

\begin{align} \mathbf{a} = \sum_{k=1}^{N} \alpha^{k}\mathbf{e}_k = \sum_{k=1}^{N}\beta^{k}\mathbf{e}_k, \quad \alpha^{k}-\beta^{k} \not\equiv 0.\end{align}

上記のベクトル方程式より

\begin{align} \sum_{k=1}^{N} ( \alpha^{k} – \beta^{k} ) \mathbf{e}_k = \mathbf{0}. \end{align}

基底の線形独立性によって，われわれは以下の式を得る．

\[ \alpha^{k} – \beta^{k} \equiv 0. \]

これは仮定と矛盾．よって定理が成り立つ．[証明終わり]

集合 \( \{ \mathbf{e}_1, \ldots , \mathbf{e}_{N} \} \) と集合 \( \{ \mathbf{f}_{1},\ldots,\mathbf{f}_{N}\} \) をふたつの基底とし式(1.8) が成り立っているものとする．また，\( \mathbf{a} = \alpha^{i}\mathbf{e}_{i} = \beta^{j}\mathbf{f}_{j} \)をベクトル空間 \( \mathcal{V} \) の任意のベクトルとする．このとき，次の式が成り立つ．\[ \lambda_{i}^{k}\mu_{k}^{j} = \mu_{i}^{k}\lambda_{k}^{j}=\delta_{i}^{j}; \tag{1.9} \label{eq:1.9} \] \[ \beta^{i} = \mu_{k}^{i}\alpha^{k},\quad \alpha^{i}=\lambda_{k}^{i}\beta^{k}. \tag{1.10} \label{eq:1.10} \]

[\( \eqref{eq:1.9} \)の証明] \( \eqref{eq:1.8} \) より \[ \mathbf{f}_{i} = \lambda_{i}^{k}\mathbf{e}_{k} = \lambda_{i}^{k} \left( \mu_{k}^{j}\mathbf{f}_{j} \right) = \left(\lambda_{i}^{k} \mu_{k}^{j}\right) \mathbf{f}_{j} , \] また \[ \mathbf{f}_{i} = \delta_{i}^{j}\mathbf{f}_{j}. \] したがって \[ \left( \delta_{i}^{j} – \lambda_{i}^{k}\mu_{k}^{j} \right) \mathbf{f}_{j}=\mathbf{0} \] 基底\( \{\mathbf{f}_{1},\ldots,\mathbf{f}_{N} \} \) の線形独立性から，\[ \delta_{i}^{j} – \lambda_{i}^{k}\mu_{k}^{j} \equiv 0.\] よって \( \eqref{eq:1.9} \) が成り立つ．\( \eqref{eq:1.9} \) のもう一つの式も同様に証明することができる．

[\( \eqref{eq:1.10} \)の証明]

\( \eqref{eq:1.8} \) によって以下の方程式が成り立つ． \[ \beta^{i}\mathbf{f}_{i} = \alpha^{k}\mathbf{e}_{k} = \alpha^{k}\displaystyle{\left( \mu_{k}^{i}\mathbf{f}_{i} \right)} = \mu_{k}^{i} \alpha^{k}\mathbf{f}_{i} \] 係数の一意性から \( \eqref{eq:1.10} \) の最初の等式が成立する．\( \eqref{eq:1.10} \) の二番目の等式も同様に証明できる．[証明終わり]

次の \( \mathbb{R}^4 \) のふたつの基底を考える．\[ \mathbf{e}_1 \,\colon= (1,0,0,0), \mathbf{e}_2 \,\colon= (0,1,0,0),\mathbf{e}_{3} \,\colon=(0,0,1,0),\mathbf{e}_{4} \,\colon= (0,0,0,1); \\ \mathbf{f}_1 \,\colon=(1,0,0,0),\mathbf{f}_{2} \,\colon= (1,1,0,0),\mathbf{f}_{3} \,\colon=(1,1,1,0),\mathbf{f}_{4} \,\colon=(1,1,1,1). \] \( 4 \times 4 \) の変換行列と行列式は次のようになる．

\begin{align} &[\lambda_{i}^{k}] =\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\0 & 1 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \ [\mu_{k}^{j}] = \begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & 0 \\0 & 1 & -1 & 0 \\0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},\\ &\text{det}[\lambda_{i}^{k}] = \text{det} [\mu_{k}^{j}] =1. \end{align}

これらの基底は相対論でtetradsと呼ばれる．

2次元複素ベクトル空間 \( \mathbb{C}^2 \) を考える．これらに次の式によって基底ベクトルの変換規則が与えられている．\begin{align} &\mathbf{f}_{1} = (\lambda\cosh{\phi})\mathbf{e}_{1}+(\mu\sinh{\phi})\mathbf{e}_{2},\\ & \mathbf{f}_{2} = (\mu^{-1}\sinh{\phi})\mathbf{e}_{1}+(\lambda^{-1}\cosh{\phi})\mathbf{e}_{2}, \\ & \lambda\mu \neq 0, \\ & \text{det} [\lambda_{i}^{k}] = \text{det} [\mu_{k}^{j}] = 1. \end{align} これらの基底は相対論でspinor dyadsと呼ばれる．

複素ベクトル \( (\alpha^{1},\alpha^{2}) \) と \( (\beta^{1},\beta^{2}) \) は \( \alpha^{1}\beta^{2} – \alpha^{2}\beta^{1} = 0 \) の場合のみ線形独立であことを証明せよ．

ベクトル空間 \( \mathbb{R}^{4} \) において,部分空間 \( \mathcal{U} \) は \( (-1,1,-2,3) \) と \( (-1,-1,-2,0) \) によって構成され，部分空間 \( \mathcal{W} \) は \( (0,2,0,3) \) と \( (1,0,1,0) \) と \( (1,-1/3,2,-2) \) によって構成される場合，部分空間 \( \mathcal{U} \cap \mathcal{W} \) の次元を求めよ．