テンソルの学習その２

\( \mathcal{V} \) と \( \hat{\mathcal{V}} \) を同一の体 \( \mathcal{F} \) で構成するふたつのベクトル空間とする．\( \mathcal{V} \) から \( \hat{\mathcal{V}} \) への線形写像(線形変換) \( \mathbf{L} \) を以下のように定義する．\begin{align} {}^\forall \lambda, \mu \in \mathcal{F}, \ {}^\forall \mathbf{a},\mathbf{b} \in \mathcal{V}, \ \mathbf{L}(\lambda \mathbf{a} + \mu\mathbf{b}) = [ \lambda\mathbf{L}(\mathbf{a}) ] + [ \mu\mathbf{L}(\mathbf{b}) ] \tag{1.11} \label{eq:1.11} \end{align}

\( \mathcal{V} \) から \( \hat{\mathcal{V}} \) への線形写像 \( \mathbf{L} \) について(\( \mathbf{L} \colon \mathcal{V} \to \hat{\mathcal{V}} \)) \[ {}^\forall \mathbf{a} \in \mathcal{V}, \ \mathbf{L}(\mathbf{a}) = \mathbf{0} \] が成り立つとき，この写像をゼロまたはヌル写像と呼び，\( \mathbf{L} = \mathbf{O} \) と記載する．

次のような性質をもつ線形演算子 \( \mathbf{I} \) を恒等演算子(identity operator)と呼ぶ．

\[ {}^\forall \mathbf{a} \in \mathcal{V}, \ \mathbf{I}(\mathbf{a}) = \mathbf{a} \]

\( \mathbf{A} \) と \( \mathbf{B} \) を \( \mathcal{V} \) に作用するふたつの線形演算子とする．これらの演算子に次のルールを加えるとき，これらの\( \mathcal{V} \) 上の線形演算子のすべての集合は，ベクトル空間をなすことを証明せよ．\begin{align} &{}^\forall \mathbf{a} \in \mathcal{V}, \ (\mathbf{A}+\mathbf{B})(\mathbf{a}) \,\colon = \mathbf{A}(\mathbf{a})+\mathbf{B}(\mathbf{a}), \\ &{}^\forall \mathbf{a} \in \mathcal{V}, \ \mathbf{O}(\mathbf{a}) \,\colon = \mathbf{o}, \\ & {}^\forall \mathbf{a} \in \mathcal{V}, \ (-\mathbf{A})(\mathbf{a}) \,\colon = -[(\mathbf{A})(\mathbf{a})], \\ &{}^\forall \mathbf{a} \in \mathcal{V}, \ {}^\forall \lambda \in \mathcal{F},\ [\lambda\mathbf{A}](\mathbf{a}) \,\colon = \lambda[\mathbf{A}(\mathbf{a})]. \end{align}

\( \mathbf{A} \) と \( \mathbf{B} \) をそれぞれ \( N \times N \) の表現行列 \( [\alpha_{j}^{i}] \) と \( [ \beta_{k}^{j} ]\) であらわされる \( \mathcal{V} \) 上の二つの線形演算子とする．合成関数 \( \mathbf{A} \circ \mathbf{B} \) は以下の表現行列を持つことを証明せよ．\[ [\alpha_{j}^{i}\beta_{k}^{j} ] = [ \alpha_{j}^{i} ] [\beta_{k}^{j} ]. \]

体 \( \mathcal{F} \) 上のすべての \( N \) 次元ベクトル空間は，\( \mathcal{F}^{N} \) と同型であることを証明せよ．

ゼロ共変ベクトル \( \tilde{\mathbf{o}} \) は，次の写像によって定義される．\[ {}^\forall \mathbf{a} \in \mathcal{V}, \ \tilde{\mathbf{o}}(\mathbf{a}) \, \colon = 0. \] \( \tilde{\mathbf{o}} \) は一意の写像であることは容易に証明される．

\( \mathcal{V} = \mathbb{R}^{N} \) とする．また，写像 \( \tilde{\mathbf{u}} \) を次のように定義する．\[ \tilde{\mathbf{u}}(\mathbf{a}) \equiv \tilde{\mathbf{u}}(\alpha^1,\alpha^2,\ldots,\alpha^{N}) \, \colon = \alpha^1, \\ \tilde{\mathbf{u}}(\mathbf{b}) \equiv \tilde{\mathbf{u}}(\beta^1,\beta^2,\ldots,\beta^{N}) \, \colon = \beta^1, \] すると，\[ \tilde{\mathbf{u}}(\mu\mathbf{a}+\nu\mathbf{b}) = (\mu\alpha^1)+(\nu\beta^1) = [\mu\tilde{\mathbf{u}}(\mathbf{a})] + [\nu\tilde{\mathbf{u}}(\mathbf{b}) ] \] したがって，\( \tilde{\mathbf{u}} \) は共変ベクトルである．

集合 \( \{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots , \mathbf{e}_{N} \} \) を \( \mathcal{V} \) に対する基底，また，\( (\alpha_1, \alpha_2, \ldots , \alpha_{N}) \) を \( N \)-タプルとする． 次のような共変ベクトル \( \tilde{\mathbf{a}} \) がただひとつ存在する．\[ \tilde{\mathbf{a}}(\mathbf{e}_{i})=\alpha_{i}, \ i \in \{1,\ldots,N\}. \] \[ (\tilde{\mathbf{a}}(\mathbf{e}_{1}),\ldots, \tilde{\mathbf{a}}(\mathbf{e}_{N})) = (\alpha_1, \ldots , \alpha_{N}) \]

[証明]

ベクトル\( \ \mathbf{b} = \beta^{j}\mathbf{e}_{j} \) を任意に選択したベクトルとする(アインシュタインの縮約を利用している)．共変ベクトル \(\tilde{\mathbf{a}}(\tilde{\mathbf{a}} \colon \mathcal{V} \to \mathcal{F}) \) を次の式によって定義する．\[ \tilde{\mathbf{a}}(\mathbf{b}) \equiv \tilde{\mathbf{a}}(\beta^{j}\mathbf{e}_{j}) \, \colon = \alpha_{j}\beta^{j}. \] したがって，\[ \tilde{\mathbf{a}}(\mathbf{e}_{i}) = \tilde{\mathbf{a}}(\delta_{i}^{j}\mathbf{e}_{j}) = \alpha_{j}\delta_{i}^{j} = \alpha_{i}. \] 上記の式は \( \tilde{\mathbf{a}} \) が存在することを示している．つづいて一意性を証明する．そのために，次のような別の共変ベクトル \( \tilde{\mathbf{a}}’ \) が存在することを仮定する．\[ \tilde{\mathbf{a}}'(\mathbf{b})=\alpha_{j}\beta^{j} \] また仮定より，\( \tilde{\mathbf{a}}’ \neq \tilde{\mathbf{a}}. \) したがって，\begin{align} {}^\forall \mathbf{b} \in \mathcal{V}, \ [\tilde{\mathbf{a}}’ – \tilde{\mathbf{a}}](\mathbf{b}) &= \tilde{\mathbf{a}}’ (\mathbf{b})-\tilde{\mathbf{a}}(\mathbf{b}) \\ &= \alpha_{j}\beta^{j}-\alpha_{j}\beta^{j} \equiv 0 \end{align} ゼロ共変ベクトル \( \tilde{\mathbf{o}} \) の一意性によって，\( \tilde{\mathbf{a}}’ – \tilde{\mathbf{a}} = \tilde{\mathbf{o}}. \) これは仮定と矛盾する．よって，補題が証明された．[証明終わり]

集合 \( \{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots , \mathbf{e}_{N} \} \) を \( \mathcal{V} \) に対する基底とする．次のような式の \( \mathcal{V}^{*} \) に対する一意の共変ベクトルの基底 \( \{\tilde{\mathbf{e}}^{1},\tilde{\mathbf{e}}^{2},\ldots,\tilde{\mathbf{e}}^{N} \} \) が存在する．\[ {}^\forall i,j \in \{1,\ldots,N\}, \ \tilde{\mathbf{e}}^{j}(\mathbf{e}_{i})=\delta_{i}^{j} \tag{1.16} \label{eq:1.16} \] [証明]

先の補題によって，次のような共変ベクトルの一意な集合が存在する．\begin{align} (\tilde{\mathbf{e}}^{1}(\mathbf{e}_{1}),\ldots,\tilde{\mathbf{e}}^{1}(\mathbf{e}_{N})) &= (1,0,\ldots,0), \\ (\tilde{\mathbf{e}}^{2}(\mathbf{e}_{1}),\ldots,\tilde{\mathbf{e}}^{2}(\mathbf{e}_{N})) &= (0,1,\ldots,0), \\ &\cdots \\ (\tilde{\mathbf{e}}^{N}(\mathbf{e}_{1}),\ldots,\tilde{\mathbf{e}}^{N}(\mathbf{e}_{N})) &= (0,0,\ldots,1) \end{align} まとめると \[ \tilde{\mathbf{e}}^{j}(\mathbf{e}_{i}) = \delta_{i}^{j}. \] 線形独立であることを証明するため，次の方程式を考える．\[ \mu_{j}\tilde{\mathbf{e}}^{j} = \tilde{\mathbf{o}}. \] 共変ベクトルの性質(1.4)によって，以下の式を得る．\[ {}^\forall i \in \{1,\ldots,N \}, \ [\mu_{j}\tilde{\mathbf{e}}^{j}](\mathbf{e}_{i}) = \mu_{j}[\tilde{\mathbf{e}}^{j}(\mathbf{e}_{i})]=\mu_{j}\delta_{i}^{j}=\mu_{i}=0 \] したがって \( \{\tilde{\mathbf{e}}^{i}\colon i=1,\ldots,N \} \) は線形独立である．続いて，展開プロパティを証明するために任意の共変ベクトル \( \tilde{\mathbf{a}} \) を選択する．また \( \tilde{\mathbf{a}}(\mathbf{e}_{i}) = \alpha_{i} \) とする． したがって，共変ベクトルの性質 \( \eqref{eq:1.14} \) によって任意のベクトル \( \mathbf{b}(=\beta^{i}\mathbf{e}_{i}) \)に対して \[ \tilde{\mathbf{a}}(\mathbf{b}) \equiv \tilde{\mathbf{a}}(\beta^{i}\mathbf{e}_{i}) = \beta^{i}\alpha_{i} \tag{1.17} \label{eq:1.17} \] \( \eqref{eq:1.14} \)，\( \eqref{eq:1.15} \) そして\( \eqref{eq:1.16} \) によって次の式を得る．\[ [\alpha_{i}\tilde{\mathbf{e}}^{i}](\mathbf{b}) = \alpha_{i} [\tilde{\mathbf{e}}^{i}(\beta^{j}\mathbf{e}_{j})] = \alpha_{i}\beta^{j}\delta_{j}^{i}=\alpha_{i}\beta^{i} \tag{1.18} \label{eq:1.18} \] 上の二つの式 \( \eqref{eq:1.17} \) と \( \eqref{eq:1.18} \) を見比べかつ \( \tilde{\mathbf{o}} \) の一意性を考慮すると次の式を得る．\[ \tilde{\mathbf{a}} = \alpha_{i}\tilde{\mathbf{e}}^{i} \] この式は展開プロパティを表している．よって集合 \( \{\tilde{\mathbf{e}}^{1},\tilde{\mathbf{e}}^{2},\ldots,\tilde{\mathbf{e}}^{N} \} \) は基底である．[証明終わり]

\( \text{dim} \, (\mathcal{V}^{*}) = \text{dim} \, (\mathcal{V}) \tag{1.19} \label{eq:1.19} \)

[証明]

証明は明らかなので省略する

[証明終わり]

集合 \( \{ \mathbf{e}_{1},\ldots,\mathbf{e}_{N} \} \) と集合 \( \{ \mathbf{f}_{1},\ldots,\mathbf{f}_{N} \} \) を \( \mathcal{V} \) に対する二つの基底とし，次の式を満たすものとする．

\[ \mathbf{f}_{i} = \lambda_{i}^{k}\mathbf{e}_{k}, \ \mathbf{e}_{k}=\mu_{k}^{j}\mathbf{f}_{j}. \]

それぞれの共変基底 \( \{ \tilde{\mathbf{e}}^{1},\ldots,\tilde{\mathbf{e}}^{N} \} \) と \( \{ \tilde{\mathbf{f}}^{1},\ldots,\tilde{\mathbf{f}}^{N} \} \) は次のように変換される．

\begin{align} \tilde{\mathbf{f}}^{a} = \mu_{b}^{a}\tilde{\mathbf{e}}^{b}, \ \tilde{\mathbf{e}}^{a}=\lambda_{b}^{a} \tilde{\mathbf{f}}^{b}. \tag{1.20} \label{eq:1.20} \end{align}

[証明]

集合 \( \{ \tilde{\mathbf{e}}^{1},\ldots,\tilde{\mathbf{e}}^{N} \} \) と \( \{ \tilde{\mathbf{f}}^{1},\ldots,\tilde{\mathbf{f}}^{N} \} \) は基底なので，次のようなスカラー \( \alpha^{i}_{j} \) と \( \beta^{i}_{j} \) が存在する．

\[ \tilde{\mathbf{f}}^{i} = \alpha^{i}_{j}\tilde{\mathbf{e}}^{j}, \ \tilde{\mathbf{e}}^{i} = \beta^{i}_{j}\tilde{\mathbf{f}}^{j}. \] \( \eqref{eq:1.16},\eqref{eq:1.15},\eqref{eq:1.14} \) によって我々は以下の式を得る．

\begin{align} \delta^{i}_{k} = \tilde{\mathbf{e}}^{i}(\mathbf{e}_{k}) = \left [\beta^{i}_{j}\tilde{\mathbf{f}}^{j} \right ] \left ( \mu^{a}_{k} \mathbf{f}_{a} \right ) = \beta^{i}_{j} \mu^{a}_{k} \left [ \tilde{\mathbf{f}}^{j}(\mathbf{f}_{a}) \right ] = \beta^{i}_{j}\mu^{a}_{k}\delta^{j}_{a} = \beta^{i}_{j}\mu^{j}_{k}. \end{align}

式(1.10)より \( \lambda^{i}_{j}\mu^{j}_{k} = \delta^{i}_{k} \) である．逆行列の一意性より，\( \beta^{i}_{j} = \lambda^{i}_{j}. \) 　同様に， \( \alpha^{i}_{j} = \mu^{i}_{j} \) が証明される．

式 (1.8) (\( \mathbf{f}_{i} = \lambda_{i}^{k}\mathbf{e}_{k}, \ \mathbf{e}_{k} = \mu_{k}^{j}\mathbf{f}_{j} \)) と \( \eqref{eq:1.20} \) ( \( \tilde{\mathbf{f}}^{a} = \mu_{b}^{a}\tilde{\mathbf{e}}^{b}, \ \tilde{\mathbf{e}}^{a}=\lambda_{b}^{a} \tilde{\mathbf{f}}^{b} \) ) によって与えられる基底変換のもとで，共変ベクトル \( \tilde{\mathbf{a}} = m_{i}\tilde{\mathbf{e}}^{i} = n_{j}\tilde{\mathbf{f}}^{j} \) の成分は次のように変換される．

\begin{align} n_{j} = \lambda^{i}_{j}m_{i}, \ m_{i} = \mu^{j}_{i} n_{j}. \tag{1.21} \label{eq:1.21} \end{align}

[証明]

式 \( \eqref{eq:1.20} \) と \( \eqref{eq:1.15} \) によって以下の式を得る．

\begin{align} m_{i}\tilde{\mathbf{e}}^{i} = n_{j}\tilde{\mathbf{f}}^{j} = n_{j}[\mu^{j}_{i}\tilde{\mathbf{e}}^{i}] = (\mu^{j}_{i}n_{j})\tilde{\mathbf{e}}^{i}. \end{align}

成分の一意性により \( m_{i} = \mu^{j}_{i}n_{j} \) が成り立つ．同様に， \( n_{j} = \lambda^{i}_{j}m_{i} \) が証明される．

[証明終わり]

(spinor)ベクトル空間 \( \mathbb{C}^{2} \) と次のふたつの基底(dyads)を考える．

\begin{align} & \mathbf{e}_{1} = (1,0), \ \mathbf{e}_{2} = (0,1) ; \\ & \mathbf{f}_{1} = (i,0), \ \mathbf{f}_{2} = (i,i). \end{align}

すると変換行列は次のようになる．

\begin{align} &[\lambda^{j}_{i}] =\begin{bmatrix}i & i \\0 & i \end{bmatrix}, \ \ [\mu^{j}_{i}] = \begin{bmatrix} -i & i \\ 0 & -i \end{bmatrix}. \end{align}

共変基底は，以下の規則によって求められる．\( \mathbb{C}^{2} \) の任意の \( (\alpha^{1},\alpha^{2}) \) に対して，

\begin{align} & \tilde{\mathbf{e}}^{i}(\mathbf{e}_{j}) = \delta^{i}_{j}, \\ & \tilde{\mathbf{e}}^{i}(\alpha^{1},\alpha^{2}) = \tilde{\mathbf{e}}^{i}(\alpha^{1}\mathbf{e}_{1}+\beta^{1}\mathbf{e}_{2}) = \alpha^{1}\delta^{i}_{1} + \alpha^{2}\delta^{i}_{2}, \\ & \tilde{\mathbf{e}}^{1}(\alpha^{1},\alpha^{2}) = \alpha^{1}, \\ & \tilde{\mathbf{e}}^{2}(\alpha^{1},\alpha^{2}) = \alpha^{2}, \end{align}

変換された共変基底 \( \{ \tilde{\mathbf{f}}^{1}, \tilde{\mathbf{f}}^{2} \} \) で

\begin{align} \tilde{\mathbf{f}}^{1}(\alpha^{1},\alpha^{2}) &= [\mu^{1}_{1}\tilde{\mathbf{e}}^{1}+\mu^{1}_{2}\tilde{\mathbf{e}}^{2}](\alpha^{1},\alpha^{2}) \\ &= \mu^{1}_{1}\alpha^{1} + \mu^{1}_{2}\alpha^{2} \\ &= i(-\alpha^{1}+\alpha^{2}) , \\ \tilde{\mathbf{f}}^{2}(\alpha^{1},\alpha^{2}) &= [\mu^{2}_{1}\tilde{\mathbf{e}}^{1}+\mu^{2}_{2}\tilde{\mathbf{e}}^{2}](\alpha^{1},\alpha^{2}) \\ &= \mu^{2}_{1}\alpha^{1} + \mu^{2}_{2}\alpha^{2} \\ &= -i\alpha^{2}. \end{align}

\( \mathbb{C}^{2} \) のすべての \( (\alpha^{1},\alpha^{2}) \) に対して，特定の共変ベクトル \( \tilde{\mathbf{w}} \) を次の式で与えるとする．

\begin{align} \tilde{\mathbf{w}} \,\colon = i(\alpha^{1} + \alpha^{2} ) \end{align}

このベクトルは次のように表すことができる．

\begin{align} & \tilde{\mathbf{w}} = i\tilde{\mathbf{e}}^{1}+i\tilde{\mathbf{e}}^{2} = -\tilde{\mathbf{f}}^{1} – 2\tilde{\mathbf{f}}^{2} , \\ & m_{1} = m_{2} = i, \ n_{1} = -1, \ n_{2} = -2. \end{align}

したがって，式 \( \eqref{eq:1.20} \) が確認される．

次の \( \mathbb{R}^3 \) における二つの基底 (もしくはtriads) を考える．

\begin{align} \{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3} \} \, & \colon = \{ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}, \\ \{ \mathbf{f}_{1}, \mathbf{f}_{2}, \mathbf{f}_{3} \} \, & \colon = \{ (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) \}. \end{align}