三角関数の公式を指数関数から導く

オイラーの公式

オイラーの公式は次の式で与えられる． \[ \mathbf{e}^{\pm ix}=\cos{x} \pm i\sin{x} \]

三角関数の公式

加法定理

オイラーの公式より \begin{align} \mathbf{e}^{i(A+B)} &= \cos{(A+B)}+i\sin{(A+B)} \end{align} 一方 \begin{align} \mathbf{e}^{i(A+B)} &= \mathbf{e}^{iA} \mathbf{e}^{iB} \\ &=(\cos{A}+i\sin{A})(\cos{B}+i\sin{B}) \\&= \cos{A}\cos {B}+i\cos{A}\sin{B}+i\sin{A}\cos{B}-\sin{A}\sin{B} \\&= (\cos{A}\cos{B} – \sin{A}\sin{B}) + i(\cos{A}\sin{B}+\sin{A}\cos{B}) \end{align} 実数部と虚数部を見比べると \begin{align} \cos{(A+B)} & = \cos{A}\cos{B} – \sin{A}\sin{B} \\ \sin{(A+B)} &= \cos{A}\sin{B} + \sin{A}\cos{B} \end{align} \( B \) を \( -B \)に置き換えると \begin{align} \cos{(A+(-B))} & = \cos{A}\cos{(-B)} – \sin{A}\sin{(-B)} \\ & = \cos{A}\cos{B} + \sin{A}\sin{B} \\ \sin{(A+(-B))} &= \cos{A}\sin{(-B)} + \sin{A}\cos{(-B)} \\ & = -\cos{A}\sin{B} + \sin{A}\cos{B}\end{align} これらをまとめると　 \begin{align} \cos{(A \pm B)} & = \cos{A}\cos{B} \mp \sin{A}\sin{B} \ \text{(複号同順)} \\ \sin{(A \pm B)} &= \sin{A}\cos{B} \pm \cos{A}\sin{B} \ \text{(複号同順)} \end{align}